Modélisation du problème

On suppose que l'on vend  \(n\)  billets pour un vol qui comporte un nombre de places strictement inférieur à  \(n\) . D'après les données des années précédentes, on remarque que seule une certaine proportion  \(p\)  des passagers ayant acheté leurs billets se présente en effet à l'embarquement. On suppose que les présences des différents passagers sont indépendants les unes des autres.
On note alors  \(X\)  le nombre de passagers présents lors de l'embarquement.

Question 1

Justifier que  \(X\) X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Question 2

La fonction factorial du module math permet de calculer la factorielle d'un nombre entier donné en argument. Écrire une fonction binomiale qui prend en entrée trois nombres  \(n\) ,  \(p\)  et  \(k\)  et qui renvoie la valeur de  \(P(X=k)\)  lorsque  \(X\)  suit une loi binomiale de paramètres  \(n\)  et  \(p\) .

from math import factorial

def binomiale(n, p, k):
    #Compléter ici

Question 3

Quelle est l'utilité de la fonction suivante ?

def binomiale_cumul(n, p, k):
    total = 0
    for i in range(0, k+1) :
        total = total + binomiale(n, p, i)
    return total

Question 4

Dans cette question, on suppose que \(n=205\) et \(p=0,97\) . À l'aide de la fonction précédente, calculer \(P(X \leqslant 200)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.